حسابان (کیلکولس)، پیسے کی بچت اور ڈاکٹر برینٹ کا پیپا ایڈونچر

مجالس:

جب ایف ایس سی میں نیا نیا تفرقی حسابان (Differential Calculus) سے پالا پڑا تھا تو کافی عرصے تک تو کچھ سمجھ نہ آتی تھی کہ اس کو سیکھنے کا مقصد کیا ہے۔ اور اسے استعمال کہاں کیا جائے گا۔ مجھے تو خیر بعد میں سمجھ آ گئی لیکن کئی طلباء کو آج بھی یہ سوال پوچھتے ہوئے دیکھتا ہوں کہ آخر حسابان (Calculus) سیکھنے کا انہیں حقیقی زندگی میں کیا فائدہ ہوگا۔ اس مثال کے ذریعے شاید میں انہیں حسابان کی عام زندگی میں افادیت کی ایک ہلکی سی جھلک دکھا سکوں۔

مثال یہاں سے لے کر ترجمہ کی گئی ہے (دوسری مثال):
http://faculty.uml.edu/rbrent/131/ep10.pdf
اور معمولی ترامیم کے ساتھ پیش کی گئی ہے۔

آپ ایک اسطوانی صورت کا پیپا (barrel) بنا رہے ہیں جس میں آپ ڈاکٹر برینٹ کو ڈال کر اسے نیاگرا آبشار پر سے گرائیں گے۔ ڈاکٹر صاحب ایک مکعب میٹر حجم کے پیپے میں آسانی سے سما سکتے ہیں۔ ڈےب کی بغلی (lateral) سطح کی تعمیر میں میں لگنے والے مادے کی قیمت 18 ڈالر فی مربع میٹر ہے۔ جبکہ دائروی (circular) سروں کے لیے استعمال ہونے والے مادے کی قیمت 9 ڈالر فی مربع میٹر ہے۔ ایسے میں پیپے کا نصف قطر اور بلندی کیا ہونی چاہیے کہ اس کی تعمیر کا خرچ کم سے کم ہو جائے۔

(اس مسئلے کو حل کرتے ہوئے ہم پیپے کے نصف قطر کے لیے r اور بلندی کے لیے h کی علامت استعمال کریں گے)
Barrel's dimensions
اسطوانے کے حجم کا فارمولا ہے
V=πr2h
دائروی سروں کا مجموعی رقبہ ہے 2πr2
بغلی سطح کا رقبہ ہے 2πrh
قیمت ہے
C=$182πrh+$92πr2
چنانچہ مسئلہ اس دالہ (Function) کی کم سے کم قدر حاصل کرنا ہے۔
C=36πrh+18πr2
اس پابندی کے اندر رہتے ہوئے کہ πr2h=1
πr2h=1 کا مطلب ہوا
h=1πr2
h کی یہ قدر دالہ میں استعمال کرنے سے ہمیں حاصل ہوتا ہے
C=36r+18πr2
جس کا مشتق (derivative) ہے
C=-36r2+36πr
C=36πr-1r2

عظمیٰ و صغریٰ (Minima and Maxima) کی قدریں معلوم کرنے کے لیے دالہ کے نقطہ ہائے حرجہ (Critical Points) معلوم کرتے ہیں (وہ نقطے جہاں مشتق Cʹ صفر یا غیر معین ہو)۔
مشتق کے غیر معین (یعنی ∞ یا -∞) ہونے کی صورت میں نتیجہ r=0 آتا ہے۔ جو کہ طبیعی طور پر ممکن نہیں ہے۔
مشتق کے صفر ہونے کی صورت میں:
πr-1r2=0
جس کا نتیجہ حاصل ہوتا ہے
r=1π3
اس قدر کو h=1πr2 میں استعمال کرتے ہوئے h کی قدر یہ حاصل ہوتی ہے۔
h=1π3

تسلی کرنے یا بہتر طور پر سمجھنے کے لیے گراف شریف کی شکل ملاحظہ فرما لیں (بشکریہ fooplot.com)۔
Graph 01 with labels