آسمانی بجلی، آدمی اور گائے۔ کون کتنے خطرے میں؟

مندرجہ ذیل مسئلہ میں نے اس کتاب میں پڑھا تھا۔
Fundamentals of Physics (8th Edition)
By David Halliday, Robert Resnick and Jearl Walker
دلچسپ لگا اور میں نے سوچا کہ اگر ترجمہ کر کے لگا دوں تو شاید طبیعیات کو ایک خشک مضمون سمجھنے والوں کا بے جا خوف دور کرنے میں مدد دے۔
تو پڑھیے اور موج فرمائیے!
(یہاں استعمال ہونے والی مساواتوں کو درست انداز میں دکھانے کے لیے آپ کے ویب براؤزر میں میتھ ایم ایل کی معاونت ہونی چاہیے)

مسئلہ:
تصویر میں ایک آدمی اور ایک گائے دکھائے گئے ہیں جو کہ دونوں ہی زمین پر کرنٹ I = 100 kA کی بجلی گرنے کے مقام سے D = 60.0 m میٹر کے فاصلے پر ہیں۔ کرنٹ زمین میں ایک نصف کرے کی صورت میں برابر انداز سے پھیلتا ہے جس کا مرکز بجلی ٹکرانے کے مقام پر ہے۔ آدمی کے پیروں کے درمیان فاصلہ Δr_per = 0.5 m ہے؛ جبکہ گائے کے اگلے اور پچھلے کھروں کا درمیانی فاصلہ Δr_cow = 1.50 m ہے۔ فرش کی مزاحمیّت (resistivity) ہے ρ_gr = 100 Ω.m۔ آدمی کے دائیں اور بائیں پاؤں کے درمیان اور گائے کے اگلے اور پچھلے کھروں کے درمیان برابر مزاحمت R = 4.00 kΩ ہے۔

(الف) آدمی کے جسم میں سے گزرنے والا کرنٹ i_p کیا ہے؟

کلیدی تصورات:
۱۔ بجلی کے گرنے سے آس پاس کی زمین میں ایک برقی میدان اور ایک برقی پوٹینشل پیدا ہوتے ہیں۔
۲۔ چونکہ ایک پاؤں دوسرے پاؤں کی نسبت بجلی ٹکرانے کے نقطے سے زیادہ قریب ہے، چنانچہ آدمی کے آر پار پوٹینشل کا ایک فرق ΔV پیدا ہوتا ہے۔
۳۔ یہ ΔV آدمی کے جسم میں سے ایک کرنٹ i_p گزارتا ہے۔

پوٹینشل کا فرق: چونکہ گرنے والی بجلی کا کرنٹ I زمین میں ایک نصف کرے کی صورت میں برابر انداز سے پھیلتا ہے، لہٰذا اس نصف کرے کے کسی بھی نصف قطر r رکھنے والے نقطے پر، مساوات (J = i/A) کی روشنی میں،

$$J=\frac{I}{2\pi r^2}$$
(مساوات ۱)

جہاں $2\pi r^2$ نصف کرے کی خمیدہ سطح کا رقبہ ہے۔

مساوات (ρ = E/J) کی روشنی میں، برقی میدان کی شدت ہے،

$$E={\rho }_{\mathrm{gr}}J=\frac{{\rho }_{\mathrm{gr}}I}{2\pi r^2}$$
(مساوات ۲)

مساوات ($\Delta V=-\int \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{s}$) کی روشنی میں، شعاعی (radial) فاصلہ D پر موجود ایک نقطے اور شعاعی فاصلہ D+Δr پر موجود ایک نقطے کے درمیان پوٹینشل کا فرق ΔV ہے،

$$\Delta V=-{\int }_D^{D+\Delta r}Edr$$
(مساوات ۳)

اس انٹگرل میں مساوات ۲ کی قدریں ڈالنے سے ہمیں پوٹینشل کے فرق کی یہ مساوات حاصل ہوتی ہے:

$$\Delta V=-{\int }_D^{D+\Delta r}\frac{{\rho }_{\mathrm{gr}}I}{2\pi r^2}dr=-\frac{{\rho }_{\mathrm{gr}}I}{2\pi }{\left[-\frac{1}{r}\right]}_D^{D+\Delta r}$$
$$\Delta V=\frac{{\rho }_{\mathrm{gr}}I}{2\pi }\left(\frac{1}{D+\Delta r}-\frac{1}{D}\right)$$
$$\Delta V=-\frac{{\rho }_{\mathrm{gr}}I}{2\pi }\frac{\Delta r}{D\left(D+\Delta r\right)}$$
(مساوات ۴)

کرنٹ: اگر آدمی کا ایک پاؤں بجلی ٹکرانے کے مقام سے شعاعی فاصلے D پر اور دوسرا پاؤں شعاعی فاصلے D+Δr پر ہو، تو دونوں پیروں کے درمیان پوٹینشل کا فرق ΔV مساوات ۴ سے حاصل ہوگا۔ یہ ΔV آدمی کے جسم میں سے ایک کرنٹ i_p پیدا کرتا ہے۔ کرنٹ کی مقدار معلوم کرنے کے لیے ہم مساوات (R = V/i) استعمال کرتے ہیں، جس میں V پوٹینشل کے فرق کی مقدار کو ظاہر کرتا ہے۔ مساوات ۴ میں سے ΔV کو اس مساوات میں V کی جگہ استعمال کرتے ہوئے ہمارے پاس کرنٹ کے لیے یہ مساوات حاصل ہوتی ہے۔

$$i=\frac{V}{R}=-\frac{{\rho }_{\mathrm{gr}}I}{2\pi }\frac{\Delta r}{D\left(D+\Delta r\right)}\frac{1}{R}$$
(مساوات ۵)

معلوم قدریں، بشمول پیروں کے درمیانی فاصلے Δr_per = 0.50 m کے، اس مساوات میں ڈالنے سے آدمی کے جسم میں سے گزرنے والے کرنٹ کی یہ قدر حاصل ہوتی ہے۔

$$i=-\frac{\mathrm{(100\; \Omega .m)}\mathrm{(100\; kA)}}{2\pi }\times \frac{\mathrm{0.50\; m}}{\mathrm{(60\; m)}\left(\mathrm{60.0\; m}+\mathrm{0.50\; m}\right)}\times \frac{1}{\mathrm{4.00\; k\Omega }}$$
$$i_p=\mathrm{0.0548\; A}=\mathrm{54.8\; mA}$$
(جواب)

کرنٹ کی یہ مقدار پٹھوں میں غیر ارادی سکڑاؤ پیدا کرتی ہے؛ اس کے اثر سے آدمی غش کھا کر گر پڑے گا لیکن غالباً جلدی ہی بحال ہو جائے گا۔ توجہ کیجیے گا کہ آدمی کرنٹ کی مقدار کو کئی گنا کم کر سکتا تھا اگر وہ اپنے پیر قریب کر کے کھڑا ہوتا اور Δr کو صرف چند سینٹی میٹر تک لے آتا۔

(ب) گائے کے جسم میں سے گزرنے والا کرنٹ i_c کیا ہے؟

ہم دوبارہ مساوات ۵ استعمال کرتے ہیں، لیکن اس بار Δr ہے Δr_cow = 1.50 m۔ چنانچہ ہمارے پاس گائے میں سے گزرنے والا کرنٹ حاصل ہوتاہے

$$i_c=\mathrm{0.162\; A}=\mathrm{162\; mA}$$
(جواب)

جو کہ مہلک ہے۔ گائے اپنی Δr کی بڑی قدر کی وجہ سے زمینی کرنٹ سے زیادہ خطرے میں ہے۔ لیکن گائے اپنے کھروں کو انتہائی قریب لا کر اس خطرے کو کم کرنے کی صلاحیت نہیں رکھتی (جو کہ ایک عجیب ہی منظر ہوگا)۔